Le De circuli quadratura, qu’on peut appeler « la première quadrature », date précisément du 12 Juillet 1450. La même année, N. de Cues écrit le Profane (De Idiota), dont le livre le plus important est le De mente : il y élabore les concepts centraux de sa théorie de la connaissance. On trouve un même effort de clarification dans les deux oeuvres qui sont à lire en même temps. Cette première quadrature établit explicitement le lien entre le problème mathématique (comment atteindre la quadrature du cercle) et le problème théologique (comment atteindre Dieu) ; il est composé de deux parties, chacune pour un problème.

Du point de vue mathématique, ce texte ne dépasse pas les Transmutations Géométriques, mais on y trouve une discussion serrée sur l’homogénéité des grandeurs qui montre que N. de Cues n’était pas un profane en la matière. Parmi tous les segments plus ou moins proportionnels au segment cherché, on prendra « le moins non-proportionnel ». Cette démarche est pour le moins insatisfaisante et N. de Cues cherchera plus tard quelque chose de plus probant. On voit ici le problème balancer entre une question de mesure (où est le point ?) et une question d’existence (ce point existe-t-il ?). Dans la suite, il discute de la proportionnalité en distinguant la non-proportionnalité de la diagonale et du côté du carré, de la non-proportionnalité de l’angle d’incidence et de l’angle de contingence. Cependant, comme il l’a esquissé dans les Compléments arithmétiques, il propose de réduire la non-proportionnalité entre courbe et droite à la non-proportionnalité entre deux droites grâce à la ligne droite qui fermera l’angle. Pour récapituler, on peut formuler un bilan nuancé : cette première quadrature ne produit pas d’avancée remarquable dans les résultats, mais on y voit N. de Cues chercher différentes stratégies démonstratives - encadrement archimédien, réduction à des proportions rectilignes - pour sa fameuse première proposition des Transmutations. Il semble avoir renoncé au calcul numérique d’un rapport exact. Mais sa réflexion ne manque ni d’ampleur ni d’ingéniosité.