Faisant suite à une correspondance avec Peurbach et Toscanelli, la Quadrature du cercle  (De Quadratura Circuli), de 1450 est, semble-t-il, une réponse à des objections sur la régularité de la variation des demi-diamètres des cercles inscrits et circonscrits aux différents polygones isopérimétriques depuis le triangle. On peut y voir surtout l’écho d’une discussion sur la méthode de démonstration.

N. de Cues développe deux points : d’une part, la proposition d’Archimède qui pose l’équivalence entre un cercle et un rectangle ; d’autre part, la méthode des isopérimètres. Il s’intéresse donc plus à la question de la méthode qu’au contenu même de sa première proposition des Transmutations. La proposition d’Archimède énonce que tout cercle est équivalent à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égal au périmètre du cercle. N. de Cues utilise sa lecture de Bradwardine, peut-être aussi le commentaire d’Eutocius sur Archimède, pour trouver comment entre deux lignes droites se tiennent deux moyennes en proportion continue . Le problème est qu’Archimède donne une équivalence entre un cercle et un triangle rectangle, mais il ne donne pas le rapport exact entre le rayon et la circonférence du cercle.

Dans cette seconde quadrature, il donne un nouveau tableau de proportions, sous forme d’un carré, qui explicite bien sa démarche. Malheureusement, ce tableau est faux parce que la variation n’est pas rectiligne mais courbe. Curieusement, dans le texte, N. de Cues multiplie les arguments, commence même un calcul qu’il n’achève pas. Serait-ce qu’il cherche à compenser la fragilité de sa démonstration par l’abondance de preuves ? En ce cas, l’erreur serait à moitié avouée. Ou serait-ce qu’emporté par la certitude, il s’adonne au plaisir d’exhiber la fécondité de son intelligence ? Les dernières lignes victorieuses nous feraient plutôt pencher pour cette seconde hypothèse. Notons qu’il n’est plus question de la première proposition des Transmutations géométriques. La discussion s’est définitivement déplacée sur le terrain de la méthode.