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La postérité des écrits mathématiques de Nicolas de Cues

L’œuvre mathématique de Nicolas de Cues a laissé d’abondantes traces dans l’histoire des sciences, mais sa postérité immédiate est très variée et dépend largement de la culture scientifique de ses lecteurs. L’édition parisienne de ses Opera Omnia comporte de nombreuses et longues annotations d’Omnisanctus des écrits mathématiques, faciles à distinguer du texte principal grâce à la taille des caractères. Nous ne savons guère qui est cet Omnisanctus, présenté par Lefèvre d’Etaples comme «　notre ami et frère Omnisanctus Vassarius, un membre d’un ordre Augustinien de canons　» (Cusanus, Opera, note 12, vol. 1, sig.aaii verso, de l’édition parisienne de 1514, d’après une note de J.V. Field, dans Piero della Francesca　: a mathematician’s art, 2005, note 14, p. 270). Il annote abondamment le texte du Cusain et va même jusqu’à le récrire (notamment le paragraphe trois du De Geometricis transmutationibus). Il n’a laissé aucune trace d’une œuvre personnelle en mathématiques.

Nous allons analyser la réception immédiate des écrits mathématiques d’abord par quelques philosophes, ensuite chez les mathématiciens.

1. La postérité chez les philosophes

Charles de Bovelles (1470?-1553) a suivi à Paris, au début du XVIe siècle, les cours de philosophie et de mathématiques de Jacques Lefèvre d'Etaples, éditeur des Opera Omnia de N. de Cues. Son admiration pour le Cusain se manifeste d'abord dans plusieurs oeuvres de nature mathématique, puis philosophique comme Le Sage (1509) et L'art des opposés (1509). «　Nicolas de Cues (homme admirable, tant dans les disciplines divines qu'humaines réunies), esprit excellent à conduire aux mathématiques ...　», écrit-il en 1510. Il rédige une dizaine de petits traités mathématiques, dont les quatre premiers ont été regroupés par Lefèvre d' Etaples en 1501 sous le titre Introduction à la géométrie, et dont les six autres, regroupés par H. Estienne avec d'autres textes philosophiques, ont paru en 1510. Ch. de Bovelles publie également en 1511 la Géométrie en françois qui semble avoir été peu diffusé. J’en ai publié une transciption en 1998 (Charles de Bovelles, La géométrie en français, transcription, présentation et annotation, par J-M Nicolle, du premier manuel de géométrie imprimé en français, publié par l'IREM de Rouen, 1998, 164 pages). Il est considéré par René Taton (Cf. «　Charles de Bovelles en son cinquième centenaire (1479-1979)　», Actes du Colloque international tenu à Noyon (14, 15, 16 Septembre 1979), Paris, La　Maisnie, 1982, p. 186) comme le premier manuel de géométrie publié en français, si l’on met de côté les manuscrits restés inédits à l’époque, comme la Géométrie de Nicolas Chuquet rédigée en 1484. Il a été imprimé par Henri Estienne, à Paris ; il eut une seconde édition en 1514. Il n’en reste que deux exemplaires, dont un à la bibliothèque municipale de Rouen (conservé sous la cote Leber 1159). Ce texte présente d’importantes difficultés de lecture　; il comporte de très nombreuses abréviations et n’a ni table des matières, ni numérotation des chapitres ou des paragraphes ; les figures sont peu explicites. Il faut ajouter à cette difficulté les erreurs commises par l’imprimeur.

On y trouve la même démarche que celle suivie par le Cusain pour la quadrature du cercle dans ses Compléments mathématiques, à savoir l'association de la proposition I de la mesure du cercle d'Archimède et de la figure en demi-cercle de Bradwardine pour trouver une moyenne proportionnelle (Op. Cit., p. 25-27). Surtout, on trouve exactement la même figure que celle qu'imagine N. de Cues dans le De mathematica perfectione, pour réduire une ligne droite à un arc (Id., p. 44). Le texte de Bovelles est une reprise presque mot pour mot de celui du Cusain.

Il s’agit de trouver un arc de cercle égal à la droite donnée ab. On y parviendrait en reportant sur les rayons d’un quart de cercle (doe) le tiers de cette droite ab et en traçant des arcs à partir des points ainsi déterminés. L’arc kl serait égal à la droite ab. Cependant, à la différence du Cusain qui donne la démonstration avec toutes les proportions nécessaires, Charles de Bovelles se contente de donner le résultat, avec la figure présentée comme une simple recette.

En 1542, Charles de Bovelles augmente son manuel et le publie sous le titre Livre singulier et utile, touchant l'art et pratique de Géométrie. Cette version sera souvent rééditée. On y trouve une analyse critique des grands mathématiciens qui ont tenté la quadrature du cercle ; d’après Bovelles, seul Nicolas de Cues l'aurait réussie.

Mais Ch. de Bovelles annonce qu'il a trouvé un autre moyen plus sûr : il explique qu'en observant la rotation de la roue d'un chariot sur le pavé de Paris, l'idée lui est venue de mesurer le rapport du diamètre à la circonférence avec une règle et un compas !

Cette remarque trahit, pour le moins, son faible niveau d’exigence mathématique. On mesure par là combien les connaissances scientifiques de Bovelles sont limitées.

Giordano Bruno (1548-1600) a bien lu et médité la Docte Ignorance ; il en cite et en commente des passages entiers. Son appréciation est élogieuse ; il se réclame souvent de N. de Cues pour avancer des propositions bien plus risquées que celles du Cusain. G. Bruno lui emprunte d'autres notions comme celle de lien, comme la formule sur la sphère infinie, mais il va plus loin dans ses audaces cosmologiques : il fait de son univers un infini positif (et non pas privatif, comme N. de Cues). N. de Cues soutient qu'il n'y a aucun point fixe et constant permettant une observation exacte des mouvements dans l'espace, mais il n'en tire pas une conception purement relativiste de l'espace, comme le fait G. Bruno, conception qui implique la négation de l'existence des orbes et des sphères célestes. Finalement, si G. Bruno fut condamné et si N. de Cues fut encensé, c'est bien parce que G. Bruno a franchi des limites que le Cusain respectait et a soutenu des thèses considérées comme hérétiques à l'époque. Selon lui, si N. de Cues n'allait pas aussi loin dans ses affirmations, c'est parce qu'il en était empêché par sa fonction ecclésiastique. Bruno pense que le Cusain aurait pu s'approcher davantage de la vérité : «　Grand fut le savoir de cet honnête Cusain, et grande sa compréhension ; c'est en effet l'un des hommes les plus remarquablement talentueux qui aient vécu sur cette terre. Néanmoins, quant à l'appréhension de la vérité, ce fut un nageur aux prises avec les flots tempétueux, tantôt émergeant, tantôt sombrant, car il n'a point vu continûment, ouvertement et clairement la lumière, et n'a point nagé dans la quiétude, mais toujours par intermittence　» (Bruno, G., De l'infini, de l'univers et des mondes, trad. J-P Cavaillé, Paris, Belles-Lettres, 1995, p. 196).

G. Bruno se sert abondamment du principe de la coïncidence des opposés et reprend l’exemple de la coïncidence de la circonférence infinie avec la ligne droite (De Docta Ignorantia, L. I, ch. 13), mais le schéma qu’il joint montre qu’il n’a pas bien compris la démonstration. Ce qui lui importe, c’est de montrer l’agrandissement du cercle et non pas la transformation de la circonférence en sa tangente qui est une ligne droite.

Il a bien compris l’idée générale, à savoir que dans le minimum comme dans le maximum, le droit et le courbe coïncident, mais il semble incapable d’exposer une démonstration géométrique. Sur la figure, il faut bien que la circonférence du cercle qui s’agrandit partage constamment au moins un point commun, le point de tangence, avec la ligne droite, pour que les deux lignes finissent par coïncider.

Dans Spaccio de la Bestia Trionfante (L’expulsion de la bête triomphante, dialogue 3, partie 2), il reprend plusieurs figures empruntées au De Mathematicis Complementis du Cusain. On peut remarquer qu’il ne se donne même pas la peine de dénommer les points sur la figure qui lui sert plus de paradigme symbolique et que de support visuel pour une démonstration géométrique.

Au tout début de ses Compléments mathématiques, Nicolas de Cues rappelle sa méthode des isopérimètres　: partant d’un triangle équilatéral, pris comme polygone régulier le plus simple, on augmente progressivement le nombre de côtés des autres polygones réguliers isopérimétriques, jusqu’au cercle, pour en chercher le demi-diamètre. Le principe de la démonstration est le suivant : dans les polygones réguliers et isopérimétriques, variant du triangle au carré, etc. jusqu’au cercle, la différence de surface entre le cercle inscrit et le cercle circonscrit est extrême dans le triangle, puis s’amenuise dans le carré, etc. jusqu’au cercle. Dans le cercle, on peut considérer que le cercle inscrit et le cercle circonscrit coïncident. Selon N.de Cues, il suffit de déterminer la proportion entre ces cercles, au moyen de leurs demi-diamètres, pour trouver le rapport entre la surface d’un cercle et celle d’un carré.

Giordano Bruno ne reprend pas l’exposé de cette démonstration, mais se contente d’utiliser cette figure pour illustrer le «　principe divin de la commensuration et la coïncidence des figures maximales et minimales.　»

Cette position hagiographique à l’endroit du Cusain est loin de faire l’unanimité chez les philosophes du XVIè siècle. La quadrature du cercle qui est le problème géométrique traité par Nicolas de Cues suscite la plus grande ironie à cette époque et devient un topos illustrant le ridicule des sciences. Corneille Agrippa　(1486-1535) a écrit : «　il ne s’est trouvé encor aucun géométrien qui aye entendu la raison de réduire le rond en son carré égal, ny de faire une ligne égale à la circonférence ou costé du cercle.　» (Cornélius Agrippa, Incertitude, vanité des sciences, trad. Louys de Mayerne Turquet, Genève, 1630, p. 94) et de conclure　: « [ils] se mettent en telle resverie, que bien souvent ils en perdent le sens, en manière que tout l’ellebore du monde ne suffirait à purger leurs cerveaux.　» (Id.).　La quadrature du cercle devient l’image même de la folie de l’esprit qui divague et oublie la réalité du monde. Montaigne a très bien repéré cet exemple et l’utilise à son compte　: «　Chercheront-ils pas la quadrature du cercle, juchez sur leurs femmes　?　», se moque Montaigne (Essais, L. III, ch. 13, Pléiade, p. 1087). On retrouve ce lieu commun chez Descartes (La recherche de la vérité par la lumière naturelle, in Œuvres et Lettres, Bibliothèque de la pléiade, nrf Gallimard, 1953, p. 895) qui en tire une dénonciation de la vanité de l’homme.

2. La postérité immédiate chez les mathématiciens

Nicolas de Cues connaissait plusieurs mathématiciens et astronomes contemporains. L’autrichien Georg Peurbach (ou Peuerbach) (1423-1461) a rencontré à Rome Giovanni Bianchini, le plus célèbre professeur d'astronomie de son temps, et Nicolas de Cues qui l'a invité à sa table. A Vienne, son étudiant Johannes Müller, dit Regiomontanus, travaille avec lui et devient un précieux collaborateur : il recopie ses travaux, à commencer par le Theoricae novae planetarum de 1454, publié en 1460. Ensemble, ils recalculent les tables alphonsines, observent des comètes - dont celle de Halley en Juin 1456 - et des éclipses de Lune. Peurbach élabore une table des sinus pour tout le quart de cercle de 10' en 10'. Regiomontanus les étend à toutes les minutes. En réponse à une demande d'explication sur un passage de ses Compléments mathématiques, N. de Cues adresse à Peurbach sa Declaratio rectilineationis curvae. Il lui adresse également la lettre que Toscanelli lui a envoyée pendant l'hiver 1453-1454.

Johannes Müller de Königsberg, dit Regiomontanus (1436-1476), a rencontré le cardinal Bessarion en 1460 et cela va changer toute sa vie. Rappelons que Johannes Bessarion (1395?-1472) était un byzantin, brillant prédicateur, évêque de Nicée qui fut envoyé en 1437 au concile de Florence. Il fit la connaissance de N. de Cues pendant le voyage de Grèce vers l’Italie et se rallia à l’église de Rome. Bessarion possédait une très riche bibliothèque et disposait d'une véritable troupe de copistes et de traducteurs à son service. Le grec n'était pas enseigné à l'université de Vienne, mais Regiomontanus va l'apprendre au contact de Bessarion.

En 1463, Regiomontanus accompagne Bessarion à Venise et enseigne à l'université de Padoue. Il publie divers traités inspirés d'astronomes arabes (al-Farghani et al-Battani), mais son apport principal concerne la trigonométrie. Il est le premier à formuler la loi des cosinus pour les triangles sphériques (dans son traité De triangulis omnimodis (L. V., théorème 2), édité par Henri Pétri à Bâle en 1561). Il pose la proportionnalité des côtés d'un triangle plan aux sinus des angles opposés. C'est la loi des sinus. Il invente une table des tangentes - sans employer encore ce terme - qu'il appelle la "table féconde". Il établit que le rapport des deux côtés d'un angle est le même que celui du sinus au cosinus, mais il ne voit pas que ce rapport est la tangente. Il est le premier latin à résoudre un problème trigonométrique au moyen de l'algèbre. Ce travail aura une énorme influence et fera de la trigonométrie une science indépendante de l'astronomie.

On trouve joint à son traité De triangulis omnimodis un petit dialogue très drôle intitulé De la quadrature du cercle d'après Nicolas le Cusain, dans lequel il reprend la proposition principale du Cusain, et montre froidement d'après les calculs d'Archimède que cette proposition ne vaut rien. Dans une lettre de 1471, il traite Nicolas de Cues de «　géomètre ridicule　». En 1464, Regiomontanus accompagne de nouveau Bessarion à Rome et compose un dialogue polémique contre la cosmologie de Gérard de Crémone. Puis, il s'installe à Nuremberg en 1467 pour se lancer dans l'édition avec sa propre presse d'imprimerie　; il est le premier éditeur d'ouvrages mathématiques et astronomiques imprimés.

Oronce Finé (1494-1555) est un mathématicien cartographe. Il a édité les œuvres de Peurbach et a enseigné les mathématiques au Collège Royal de Paris. L’intérêt de son travail éditorial concerne notamment les représentations géométriques en perspective avec l’ombre portée. Au XVè siècle, on ne sait pas encore figurer les objets en trois dimensions (les corps). Au XVIè siècle, les éditions de Lefèvre d’Etaples constituent un léger progrès, avec un début de perspective (cavalière). Oronce Finé apporte un soin et une finesse considérables.

L’exemple du cône est très instructif. Le Cusain le dessine avec un cercle et un triangle rectangle dont le sommet est en bas. Il réclame de son lecteur un effort d’imagination visuelle pour faire tourner le triangle et engendrer le cône. Avec Oronce Finé, le cône est donné dans son volume et ses effets d’éclairage.

On mesure l’embarras du Cusain lorsqu’il veut représenter une sphère. Il faut une grande puissance d’imagination au lecteur pour qu’il rapporte le schéma énigmatique proposé à la forme sphérique (N. de Cues, Des compléments mathématiques, éd. Champion, p. 305).

Enfin, Johannes Buteo ou Jean Borrel (1492-1564 ou 1572　?) est un mathématicien français, qui a suivi des cours de Oronce Finé à Paris. Il connaît très bien les Eléments d’Euclide. Dans son De quadratura circuli (livre II, en 1559), il fait la revue critique de tous ceux qui ont prétendu avoir résolu le problème de la quadrature du cercle. Dans le chapitre consacré à Nicolas de Cues (Jean Borrel, De quadratura circuli, livre II, 1559, p. 117-150), il mène un examen très précis des démonstrations du Cusain, pour en montrer les limites.

3. Une postérité contrastée

Les écrits mathématiques de Nicolas de Cues ont suscité des lectures très différentes, à cause de l’auteur et de ses lecteurs. On réalise aujourd’hui combien ses connaissances mathématiques étaient encore limitées par rapport à la science moderne. Le Cusain ne connaissait pas les notations algébriques, ni la notion de fonction, ni le concept de zéro, ni la trigonométrie. On ne peut lui en tenir rigueur. Cependant, ses compétences mathématiques auraient pu être plus étendues. Il n’aime pas l’arithmétique et fait très peu de calculs. Il est embarrassé par le calcul d’une moyenne proportionnelle à deux inconnues　: il parle de medietas duplae à trois reprises, pour une médiété impossible à calculer parce qu’elle contient deux valeurs inconnues. Bien que Boèce (Boèce, Institution arithmétique, 2, 50, 7 à 12) ait donné clairement les algorithmes pour les calculer, il ne semble pas que N. de Cues en ait tiré grand profit.

Les nombreuses découvertes mathématiques, réalisées à l’époque pour les besoins du commerce en Italie, effacent rapidement les écrits du Cusain　: Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1499-1557), Cardan (1501-1576) pour la résolution d’équations du troisième degré. Cardan et Bombelli (1526-1572) pour la découverte des nombres imaginaires (à racine carrée négative, appelés aujourd’hui les nombres complexes), Ferrari (1522-1565) pour la résolution d’équations du quatrième degré. La trigonométrie se développe en Occident avec Peurbach, Regiomontanus, Oronce Finé, Joachim Rheticus et bien sûr Copernic. Luca Pacioli (1445-1517) invente la comptabilité en partie double et réalise avec son élève Léonard de Vinci, vers 1498, un magnifique ouvrage de géométrie (La divine proportion, publié à Venise en 1509). Puis vient l’algèbre symbolique avec la mise au point progressive d’une notation　: Stifel (1486-1567), Recorde (1512-1558), Stevin (1548-1620), et enfin Viète (1540-1603). C’est un véritable feu d’artifice qui jette dans l’oubli les recherches laborieuses et stériles du Cusain. Les mathématiques deviennent véritablement un métier.

Néanmoins, la notion de proportion utilisée sans cesse par Nicolas de Cues dans ses démonstrations mathématiques et dans sa philosophie de la connaissance exerce une importante influence sur le milieu artistique. Ernst Cassirer a démontré l’existence, d’un «　milieu qui, dans l’Italie du XVè siècle, à côté de la culture scolastique déclinante et de la culture humaniste ascendante, représente une troisième forme, spécifiquement moderne, du savoir et de la «　volonté de connaître　»　», et dont l’originalité tient à ce qu’il s’attache «　à des tâches de techniques artistiques concrètes pour lesquelles on cherche une «　théorie　»　» (E. Cassirer, Individu et cosmos dans la philosophie de la Renaissance, p. 68). On y trouve Léonard de Vinci, Léon Battista Alberti. Daniel Arasse (postface au traité De la Perspective en peinture de Piero della Fancesca, éd. In Medias Res, Paris, 1998, p. 289-292) a montré que Piero della Francesca en faisait également partie.　 Il y a donc un fort contraste entre le retard de ses travaux mathématiques sur son temps et la modernité de sa pensée spéculative.

Jean-Marie Nicolle,

Rouen, novembre 2014.