Johannes Müller de Königsberg, dit Regiomontanus, s'inscrit à l'université de Vienne en 1450 et suit les cours d'astronomie de Peurbach dont il devient l'ami et le collaborateur. La rencontre du cardinal Bessarion en 1460 va changer toute sa vie. Le grec n'était pas enseigné à l'université de Vienne, mais Regiomontanus va l'apprendre au contact de Bessarion. Après la mort de Peurbach, il termine l'oeuvre commencée avec lui et suit Bessarion à Rome en 1461. L'Epitoma Almagesti Ptolemaei rédigée avec Peurbach ne contient pas seulement les idées abrégées de l'Almageste, mais aussi des observations nouvelles, des révisions de calculs et des réflexions critiques de Regiomontanus. Ainsi, une de ses remarques sur le diamètre apparent de la Lune sera retenue par Copernic et influencera sa réflexion critique sur le système de Ptolémée.
En 1463, Regiomontanus accompagne Bessarion à Venise et enseigne à l'université de Padoue. Il publie divers traités inspirés d'astronomes arabes (al-Farghani et al-Battani), mais son apport principal concerne la trigonométrie. Il est le premier à formuler la loi des cosinus pour les triangles sphériques dans son De triangulis omnimodis (L. V., théorème 2). Il se lance dans la composition d'un traité de trigonométrie qu'il n'aura pas le temps d'achever. Il pose la proportionnalité des côtés d'un triangle plan aux sinus des angles opposés. C'est la loi des sinus. Il invente une table des tangentes - sans employer encore ce terme - qu'il appelle la " table féconde". Il établit que le rapport des deux côtés d'un angle est le même que celui du sinus au cosinus, mais il ne voit pas que ce rapport est la tangente. Il est le premier latin à résoudre un problème trigonométrique au moyen de l'algèbre. Ce travail aura une énorme influence et fera de la trigonométrie une science indépendante de l'astronomie. 
On trouve joint à ce traité , le dialogue De la quadrature du cercle d'après Nicolas le Cusain, dans lequel il reprend la proposition principale de N. de Cues, et montre froidement d'après les calculs d'Archimède que cette proposition ne vaut rien. 
En 1464, Regiomontanus accompagne de nouveau Bessarion à Rome et compose un dialogue polémique contre la cosmologie de Gérard de Crémone. Puis, il s'installe à Nuremberg en 1467 pour se lancer dans l'édition avec sa propre presse d'imprimerie; il est le premier éditeur d'ouvrages mathématiques et astronomiques imprimés. Il quitte Nuremberg en 1475, pour gagner Rome à l'invitation du Pape qui veut lui confier la réforme du calendrier, mais il meurt dans l'épidémie de peste qui sévit alors en 1476.
Selon M. Simon, si le Cusain avait possédé la formation théorique de Regiomontanus et si son temps n'avait pas été entièrement occupé par le service de l'Eglise et le déplorable combat pour son évêché de Brixen, il se serait trouvé comme pur mathématicien aussi important qu'il a été théologien et philosophe.

Nicolas de Cues, Die Mathematische Schriften, traduction allemande par Josepha Hofmann, introduction et notes par Joseph Ehrenfried Hofmann, Hamburg, Félix Meiner, 1951, p. IX.
MÜLLER Johannes (dit Regiomontanus), De triangulis Omnimodus Libri Quinque, Norimbergae, 1533.
DELAMBRE, J.B.J., Histoire de l'astronomie du Moyen Âge, Paris, éd. Vve Courrier, 1819, p. 293.

HOFMANN, J. E., Geschichte der Mathematik, Berlin, Walter de Gruyter, 1963, Version anglaise : The History of Mathematics to 1800, trad. F. Gaynor et H. O. Midonick, Littlefield, Adams, 1957, p. 80.
MONTUCLA, Jean-Etienne, Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris, Bachelier Père et Fils, 1754, pp. 41-42.
SIMON, Max, Cusanus als Mathematiker, Leipzig-Berlin, Teubner, Hermann Webers Festschrift, 1912, p. 337.
ZINNER, E., Leben und Wirken des Johannes Müller von Königsberg genannt Regiomontanus, 2^ème éd., Osnabrück, 1968.